Darbs:

N un maksājumu plūsmu R1, R2, … RN ienesīguma norma par pirmo periodu tiek aprēķināta ar pirmā maksājuma summas R1 attiecību pret obligācijas vērtības pieaugumu (t. i., starpību starp tekošo cenu un cenu perioda sākumā) pie sākuma vērtības. Šī attiecība kā noteikums tiek izteikta procentos un saskaņā ar pieņemto principu tai jābūt vienādai ar īstermiņa operāciju procenta likmi, kas noteikta dotajā periodā.
Pierakstīsim šo vienādību. Lai to izdarītu, apzīmēsim ar P1 obligācijas cenu pēc t periodiem (t < N), sākot skaitīt no finansu instrumenta parādīšanās momenta ar N periodu dzēšanas (vai apgrozības) termiņu. Tad obligācijas vērtības pieaugums pirmajā periodā ir vienāds P1 - P0. Bet ienesīguma normas vienādības noteikums no vērtspapīra īpašuma par pirmo periodu īstermiņa obligāciju procentu likmei, kuru apzīmēsim kā i1, var uzrakstī kā [7,67]:
R1 + (P1 - P0) = i1,
P0 (3.1)
kur R1 - pirmā maksājuma summa;
P0 - obligācijas sākuma vērtība;
P1 - obligācijas beigu vērtība;
i1 - īstermiņa operāciju procentu likme pirmajā periodā.
Atrisināsim šo vienādojumu izsakot P0, [7,67]
P0 = R1 + P1.
1 + i1 (3.2)
Tādā veidā obligācijas cena sākuma momentā t = 0 ir atkarīga no obligācijas cenas P1 un procentu likmes i1 pirmā perioda beigās, t. i., no to nākotnes nozīmēm. Vienādojuma (3.2) nozīme ir acīmredzama. Ja momentā t = 0 cena P0 būtu lielāka, nekā vienādojuma (3.2) labā puse, tad finansu instrumenta ienākums pirmajā periodā, kas izteikts ar vienādojuma (3.1) kreiso pusi, būtu bijis mazāks, nekā ienākums, kas atbilst likmei i1, no investēšanas instrumentā ar dzēšanas termiņu viena perioda laikā. Šajā gadījumā neviens negribētu tādu obligāciju, kas novestu pie tās venas krišanās. Un otrādi, ja P0 būtu bijusi mazāka, nekā vienādojuma (3.2) labā puse, tad ienesīguma norma dotajam instrumentam izrādītos lielāka, nekā likme i1, un katrs gribētu to iegādāties. Paaugstināts pieprasījums palielinātu cenu.
Laika nākošajā momentā t = 1 cenai P0 savukārt jāapmierina vienādojums, kas ir analoģisks (3.2), un tieši [7,67]:
P1 = R2 + P2.
1 + i2 (3.3)
Ievietojot šo vienādojumu vienādībā (3.2) iegūstam [7,67]:
P0 = R1 + R2 + P2 .
1 + i1 (1 + i1) (1 + i2) (3.4)
Rekursīvi atkārtojot analoģisko substitūciju līdz pat obligācijas dzēšanas termiņam, konstatēsim, ka [7,67]:
P0 = R1 + R2 + R3 + … + RN .
1 + i1 (1 + i1) (1 + i2) (1 + i1) (1 + i2) (1 + i3) (1 + i1) … (1 + iN) (3.5)
Ja uzmanīgi paskatās uz iegūtās izteiksmes labo pusi, tad nav grūti katrā tās loceklī atpazīt mūsdienīgo vai izteikto maksājumu vērtību (present value), kuri tiks veikti tālākajos momentos nākotnē. Tādā veidā parāda saistības cenai jābūt vienādai ar diskontēto maksājumu summu, kurus parādniekam (obligāciju emitentam) ir pienākums veikt līdz dzēšanas termiņa atnākšanai.
Ja parāda saistība ir obligācija ar kuponiem, tad maksājumu plūsma R1, R2, … , RN var tikt pierakstīta kā C, C, … C + M, kur C - kuponu maksājums, bet M - obligācijas nomināls vai dzēšanas summa. [7,66-67]


3. 2. Obligācijas ienesīguma mērīšana.

Tagad izskatīsim ienesīguma noteiktos mērus, kas ļauj salīdzināt finansu instrumentu ienesīgumu, kuriem ir dažādas maksājumu plūsmas un dzēšanas termiņi. Instrumentiem, kas domāti vienam laika periodam, tāds mērs ir acīmrezams - tā tiek noteikta ar vienādojuma (3.1) kreiso pusi. Bet šo pieeju nevar izmantot ilgtermiņa obligāciju gadījumā. Piemēram, instrumentam ar maksājumu plūsmu, kas sastāv no diviem locekļiem R1 un R2, mērs (R1 + R2) / P0 nebūs korekts divu iemeslu dēļ. Pirmkārt, mums ir vajadzīgs mērs, kuru var izmantot instrumentu salīdzināšanai ar dažādiem dzēšanas termiņiem, tāpēc tai jāmēra ienākums laika vienībā. Otrkārt, norādītais mērs neņem vērā laika faktoru, t. i., to, ka maksājumi attiecas pie dažādiem laika momentiem un izvestajā formulā neatspoguļojas naudas cena, ņemot vērā no tās saņemamo ienākumu nākamajos periodos. Tāpēc pilna ienesīguma mērīšanai tiek izmantota obligācijas ienasīguma norma tās apgrozības periodā, kuru tāpat nosauksim par ienesīguma normu pie dzēšanas vai ievietošanas likmi. Tā tiek noteikta kā likme, pie kuras maksājumu plūsmas tagadējā cena ir vienāda ar finansu instrumenta tirgus cenu.
Tādā veidā parāda saistībai vienādojumā (3.5) ienesīguma norma dzēšanas momentā ir procentu likme r, kas apmierina vienādību [7,68]:
P0 = R1 + R2 + R3 + … + RN .
(1 + r) (1 + r)2 (1 + r)3 (1 + r)N (3.6)
Tajā gadījumā, kad instruments ir obligācija ar kuponiem, šī vienādība iegūs šādu veidolu [7,68]:
P0 = C + C + C + … + C+M .
(1 + r) (1 + r)2 (1 + r)3 (1 + r)N (3.7)
Lai iegūtu nominālās vērtības cenu latam (ASV, piemēram, obligācijas tiek izlaistas ar nomināliem no 25 līdz 100 000 $), sadalīsim pēdējā vienādojuma abas puses ar M un iznesīsim kopējo reizinātāju ārpus iekavām [7,68]:
P0 = C [1 - (1 + r)-N] + 1 .
M M r (1 + r)N (3.8)
Izrēķinot vienādojumu (3.8), noteiksim ienesības normu uz obligācijas dzēšanas brīdi, kas izlaista uz N periodiem. Vienādojumā (3.8) cenas attiecība uz nominālu P0 / M parasti tiek reizināta ar 100 un saucas par obligācijas kursu. Ja kurss ir vienāds ar 100, obligācija tiek pārdota par nominālu, ja lielāks par 100 - ar prēmiju, bet ja mazāks par 100 - tad ar diskontu. Attiecība C / M saucas par ienesīguma kuponu normu vai procenta kupona likmi.
Savukārt, ienesīgums N periodos ir vidējais N no gaidāmajām īstermiņa likmēm katram no N periodiem, kas iet pirms dzēšanas termiņa. Visuzskatāmāk tas redzams obligācijas ar nulles kuponu gadījumā, t. i., kad C = 0. No vienādojuma (3.8) izriet, ka tādas obligācijas ienākums ir saistīts ar tās cenu sekojošā veidā (indeksu “0” cenai P šeit un tālāk atmetīsim) [7,68]:
P = 1 ,
M (1 + r)N (3.9)
bet no vienādojuma (3.5), ievietojot nulli R1, R2, … RN-1 vietā un M RN vietā, secinam, ka [7,68]:
P = 1 .
M (1 + i1) (1 + i2) … (1 + iN) (3.10)
Savienojot divu pēdējo vienādojumu labās puses, iegūstam [7,68]:
(1 + r)N = (1 + i1) (1 + i2) … (1 + iN). (3.11)
Pāriesim uz logaritmiem. Tad kreisā puse ir vienāda [7,68] :
ln (1 + r)N = N ln (1 + r) N. r. (3.12)
Pēdējais aptuvenais vienādojums ir iegūts logaritma sadalīšanas ceļā punktā 1 ar precizitāti līdz lineāram loceklim, pie kam šī pietuvināšanās ir korekta tikai pie nelielām r vērtībām. Izteiksmes (3.11) labā puse analoģiskā veidā transformējas par
ln [(1 + i1) (1 + i2) … (1 + iN)] i1 + i2 + … + iN. (3.13)
No vienādojumiem (3.12) un (3.13) seko, ka
r i1 + i2 + … + iN) / N (3.14)
Tas nozīmē, ka ievietošanas likme aptuveni - tas ir gaidāmo īstermiņa procentu likmju vidējais aritmētiskais N līdz dzēšanas momentam. Krievijā ir izveidojušās augstas likmes, tāpēc šīm obligācijām ir lietderīgi ienesīguma normu r rēķināt pa tiešo no (3.11) caur vidējo ģeometrisko [7,69]:
______________________
r =(1 + i1) (1 + i2) … (1 + iN) - 1 (3.15)
Obligācijai ar ne-nulles kuponu likme r tiek aprēķināta no nelineāra vienādojuma
P = C [1 - (1 + r)-N] + 1 .
M M r (1 + r)N (3.16)
ar lineārās interpolācijas palīdzību vai arī Ņūtona - Rafsona metodi.
Obligācijas apgrozības laiks parasti tiek mērīts gados, un procentu likmes tāpat tiek uzrādītas gada aprēķinā. Lai pārietu uz šo mērītāju, nepieciešams ņemt vērā procentu uzskaitījuma un izmaksu pēc kuponiem biežumu. Līdz šim mēs to nedarījām un tas nozīmē, ka vienādojumā (3.8) bija paredzēta izmaksa pēc kupona vienreiz gadā C apmērā. Patiesībā ASV un daudzās citās valstīs obligāciju procenti parasti tiek izmaksāti divreiz gadā. Tāpēc katra izmaksa pēc kupona ir vienāda ar C / 2, un šim lielumam jātiek diskontētam divas reizes gadā pēc ienākuma gada normas puslikmes, t. i., pēc likmes r / 2. Rezultātā vienādojums (3.8) iegūst veidolu [7,69]:
P = C [1 - (1 + r / 2)-2N] + 1 .
M 2M r / 2 (1 + r / 2)2N (3.17)
un gada ienesīgums dzēšanas momentā ir vienādojuma (3.17) atrisinājums attiecībā r/2, kas reizināts ar 2.
Stingri ņemot, gada ienesībai uz dzēšanas momentu jātiek aprēķinātai ar salikto procentu formulas palīdzību priekš ienesības pusgada normas dzēšanas momentā(r / 2) viena gada ietvaros. Bet tirgū ir pieņemts divkāršot ienesīguma pusgada normu uz dzēšanas brīdi. Ienesīguma norma dzēšanas mirklī, kas izskaitļota ņemot vērā šo vienošanos, saucas par obligācijas ienesīguma nominālo normu.
No vienādojuma (3.8) un (3.17) seko, ka obligācijas cena atkarīga no trim faktoriem. Tā ir tieši proporcionāla izmaksas pēc kupona lielumam, tā kā liela izmaksa pēc kupona nozīmē lielu naudas plūsmu; ir apgriezti atkarīga no procentu likmēm, tā kā lielāka likme samazina patreizējo naudas plūsmas katra locekļa vērtību; un sarežģītākā veidā ir atkarīga no apgrozījuma termiņa. [7,67-69]

3. 3. Obligācijas cena sarežģītākās situācijās.

Apskatītā pieeja ir tikai bāze, teorētisks pamats obligācijas cenas noteikšanai. Reālajā tirgū obligāciju apgrozība notiek sarežģītākos apstākļos, nekā tie, kas tika piedāvāti. Visupirms obligāciju izlaidi var pavadīt vesela virkne papildinājumu. Nav zināmas procentu likmes visā obligāciju apgrozības termiņā. Bez tam arī emitentiem ir dažāda drošības pakāpe. Cena, kuru investors samaksās par obligāciju, būs atkarīga no procentu likmes, kas būs izveidojusies tirgū, no riskiem, kas saistīti ar doto aizdevumu un šīs emisijas īpatnībām. Ja aizdevuma īpatnības (atrunas) dod priekšrocības emitentam, tad viņi samazina cenu, bet, ja investoram, tad paaugstina to. Piemēram, obligāciju līdztermiņa izpirkšanas rezervētās tiesības dod priekšrocību emitentam. Tajā gadījumā obligācijas cena krītas attiecībā pret citu tādu pašu, bet bez izpirkuma tiesībām. Tiesības uz konversiju vai opcionu ar atgriezenisku prēmiju dod priekšrocību investoram un paaugstina obligācijas cenu attiecībā pret citām salīdzināmām obligācijām bez tādiem noteikumiem.
Obligāciju ar opcioniem novērtēšana - sarežģīta lieta. Priekš tā parasti tiek izmantota opcionu novērtēšanas teorija. Piemēram, no investora redzespunkta skatoties, aizņēmēja tiesības uz obligācijas izpirkumu ir kaut kas cits nekā opcions, kas tiek pasniegts emitentam no obligācijas turētāja puses. Ir izstrādāti vairāki alternatīvi modeļi parāda opcionu novērtēšanai.
Vairāk par viena opciona esamība obligācijas struktūrā padara analīzi vēl sarežģītāku. Piemēram, obligācija var būt konvertējama, un var tikt paredzēti opcioni izpirkšanai un pārdošanai. Efekta vienkārša summēšana no katra no šiem opcioniem nav pieņemama, tā kā viena no tiem realizēšana pazeminātu vēl nerealizēto vērtību. [7,69-70]

S E C I N Ā J U M I U N P R I E K Š L I K U M I

1. Obligācija ir kredītiestāžu viena no brīvo naudas līdzekļu piesaistes veidu apliecinošiem dokumentiem. Tas ir viens no izplatītākajiem vērtspapīriem pasaulē un reprezentē uzņēmuma saistības kreditora priekšā.
2. Obligācijas emitentam ir juridisks pienākums atgriezt tās kreditoram nominālo obligācijas vērtību noteiktā laikā un ik gadu izmaksāt viņam ienākumu noteikta procenta formā no nominālās obligācijas vērtības. Šai apņemšanai ir obligāts raksturs un nekādi nav saistīts ar emitenta gūto peļņu.
3. Pasaulē ir plašs obligāciju tirgus, kas ir bijis nepārtrauktā attīstībā vairākus gadu desmitus ar atsevišķiem periodiskiem kritumiem. Obligāciju izplatības ziņā lielākajās valstīs - Krievijā un ASV ir radusies ievērojama pieredze šajā jomā, un obligācija ir kļuvusi par vienu no populārākajiem naudas resursu aizņemšanās līdzekļiem.
4. Latvijā obligācijas nav guvušas ievērojamu izplatību lielā mērā vēl neattīstītā vērtspapīru tirgus mehānisma dēļ, kā arī vietējo akciju sabiedrību nepietiekamās uzmanības pievēršanai šai pasīvo operāciju tirgus nišai. Ņemot vērā mūsu valsts pilsoņu bēdīgo pieredzi ar PSRS iekšējā aizņēmuma parādzīmēm, neuzticēšanās no viņu puses ir pilnīgi pašsaprotama.
5. Galvenais Latvijas obligāciju apgrozības elements - dematerializēti tipiski diskonta valsts vērtspapīri bez kuponiem.
6. Krājobligācijas varētu būt Latvijas nākotnes vērtspapīrs, jo piesaista ieguldītājus ar nelieliem naudas līdzekļiem, kādu mūsu valstī ir daudz.
7. Municipālās obligācijām ir iespēja būt par vietējo vērtspapīru tikai tālā nākotnē līdz ar valsts ekonomisko un uzticības pieaugumu ļaudīs.
8. Latvijas privātuzņēmējiem vajadzētu vairāk uzmanības pievērts korporāciju obligāciju izlaidei. To uzticamība uzskatāma par visaugstāko obligāciju sfērā. Vienlaicīgi tā būtu vēlama alternatīva akcijām.
9. Obligācijas - nenoliedzami viens no nākotnes populārākajiem vērtspapīriem Latvijā, kas savu vietu tirgū iegūs līdz ar tā tālāku attīstību un potenciālo kreditoru uzticības iegūšanu vēl neizzinātajā jomā.

I Z M A N T O T Ā S L I T E R A T Ū R A S
U N A V O T U S A R A K S T S

1. Vēciņš Ē. Naudas lietas.: Skaidrojošā vārdnīca. - R.: Zvaigzne, 1993. - 169 lpp.
2. Балабанов И. Т. Финансы граждан. - М.: Финансы и статистика, 1995. - 221 с.
3. Банковское дело / под ред. В. И. Колесникова, Л. П. Кроливецкой. - М.: Финансы и статистика, 1996. - 476 c.
4. Буренин. А. Облигация: общая характеристика // Финансовая газета. - 1993. - No 16.
5. Грядовая О. В. Особенности ценообразования на рынке государственных краткосрочных облигаций // Финансы. - 1995. - No 3.
6. Донан. Э. Дж. Денги, банки и денежно-кредитная политика. - Санкт петербург оркестр, 1994. - 493 с.
7. Лукашин Ю., Пашвыкин С. Финансовые расчеты на рынке облигаций // МеМо. - 1997. - No 4.
8. Паперно Л. Б. Акции и другие ценные бумаги. Работа брокера на фондовой бирже. - Рига: Методический центр фирмы “IF”, 1992. - 79 с.