Apraksts:

Katru gadu apdrošināšanas kompānijām savs finansu gads jāslēdz 31. decembrī. Tas rada nopietnas problēmas, jo katrā laika momentā var būt daudzas vēl neiesniegtas prasības un nozīmīgas naudas summas var palikt ārpus rezervju prognozēm. Dažas prasības kompānijai vēl nav pieteiktas tāpēc, ka tas ir noticis pašās gada beigās. Tās ir I.B.N.R. (incurred but not reported) prasības. Dažas prasības vēl nav apmaksātas. Tas biežāk ir gadījumos, kad jākompensē miesas bojājumi. Lielākās summas parasti tiek izmaksātas par ceļu satiksmes negadījumos gūtajiem zaudējumiem kā kompensācija par ilgstošu darba nespēju. Lai uzzinātu kopējās apdrošināšanas izmaksas par šādiem negadījumiem, apdrošinātājam jāsagaida līguma termiņa beigas (traumas reizēm dzīst ļoti ilgi), lai eksperti varētu noteikt atbildības pakāpi un lai tiesa varētu noteikt zaudējumu summu. Arī prasību apmaksa var ilgt vairākus gadus. Lielākā aizkavēšanās parasti ir nopietnāko prasību gadījumā. Summas, kuras vēl nav izmaksātas un ir jārezervē, ir ļoti lielas. Kompānijas maksājumu likmju izpēte var, piemēram, uzrādīt tikai trešo daļu no kopējām prasību izmaksām sākotnējā gada ietvaros, apmēram 29% otrā gada laikā, 13% trešā gada laikā, 8% ceturtā gada laikā, u.t.t. Kad ir pagājuši 10 gadi, var izrādīties, ka 3.7% no prasību summas vēl joprojām nav izmaksātas. Miesas bojājumi, kas ir tikai desmitā daļa no prasību skaita, var izmaksāt ap 60% no kopējām prasību summām, bet aprēķināti kā 90% no rezervēm.

Darbs:

ANOTĀCIJA
Darbā ir aplūkota tehnisko rezervju aprēķināšanas problēma auto apdrošināšanā. Tiek aplūkotas vairākas praksē lietotas metodes šo rezervju aprēķināšanai. Tiek piedāvāts šajos aprēķinos izmantot ARIMA modeļus. Ir dots neliels ieskats datorprogrammu paketes WinRATS iespējās, novērtējot ARIMA modeļus. Nobeigumā visas metodes tiek salīdzinātas, izmantojot vienu konkrētu piemēru.


ANNOTATION
The aim of this work is to contemplate the calculation problem of the Loss reserves in car insurance. There have been considered several widely used methods for the calculation of the reserves. It is offered to use ARIMA models in the calculation. There have been given a little insight into the possibilities of the software package WinRATS in evaluating ARIMA models. In conclusion all the methods have been compared using the concrete example.
SATURS

IEVADS 6
1 Rezervju aprēķināšanas metodes 8
1.1 Pakāpeniskās ķēdes metode 8
1.2 Reizinātāju metodes 10
1.3 Speciālgadījums – atdalīšanas metode 13
2 ARMA(p,q) modeļi. 19
2.1 Slīdošā vidējā modelis MA(q) 19
2.2 Autoregresīvais modelis AR(p) 22
2.3 Jauktie autoregresīvie slīdošā vidējā procesi ARMA(p,q). 24
2.4 Programmu pakete WINRATS. 26
3 ARMA(p,q) modeļu izmantošana rezervju aprēķinos. 29
4 Piemērs. 32
NOBEIGUMS 42
IZMANTOTĀ LITERATŪRA 43

IEVADS
Katru gadu apdrošināšanas kompānijām savs finansu gads jāslēdz 31. decembrī. Tas rada nopietnas problēmas, jo katrā laika momentā var būt daudzas vēl neiesniegtas prasības un nozīmīgas naudas summas var palikt ārpus rezervju prognozēm.
Dažas prasības kompānijai vēl nav pieteiktas tāpēc, ka tas ir noticis pašās gada beigās. Tās ir I.B.N.R. (incurred but not reported) prasības.
Dažas prasības vēl nav apmaksātas. Tas biežāk ir gadījumos, kad jākompensē miesas bojājumi. Lielākās summas parasti tiek izmaksātas par ceļu satiksmes negadījumos gūtajiem zaudējumiem kā kompensācija par ilgstošu darba nespēju. Lai uzzinātu kopējās apdrošināšanas izmaksas par šādiem negadījumiem, apdrošinātājam jāsagaida līguma termiņa beigas (traumas reizēm dzīst ļoti ilgi), lai eksperti varētu noteikt atbildības pakāpi un lai tiesa varētu noteikt zaudējumu summu. Arī prasību apmaksa var ilgt vairākus gadus. Lielākā aizkavēšanās parasti ir nopietnāko prasību gadījumā. Summas, kuras vēl nav izmaksātas un ir jārezervē, ir ļoti lielas. Kompānijas maksājumu likmju izpēte var, piemēram, uzrādīt tikai trešo daļu no kopējām prasību izmaksām sākotnējā gada ietvaros, apmēram 29% otrā gada laikā, 13% trešā gada laikā, 8% ceturtā gada laikā, u.t.t. Kad ir pagājuši 10 gadi, var izrādīties, ka 3.7% no prasību summas vēl joprojām nav izmaksātas. Miesas bojājumi, kas ir tikai desmitā daļa no prasību skaita, var izmaksāt ap 60% no kopējām prasību summām, bet aprēķināti kā 90% no rezervēm.
Rezervējamā naudas summa ir cieši saistīta ar prasību prognozēm. Tā, piemēram, var trīs reizes pārsniegt kompānijas ikgadējos ienākumus. Tā pat niecīgākais nepieciešamais novērtējums var slēpt sevī dramatisku efektu kompānijas rezultātu pārapdrošināšanā. Ja gadījumā kompānijas ikgadadējais ienākums ir 30 miljoni, kamēr prasību prognozes ir ap 3000 miljoniem un ja prognozes ir novērtētas tikai 2% par zemu, jādeklarē 30 miljonu deficīts. Šī kļūda var nākt gaismā tikai pēc vairākiem gadiem, pēc gūtās peļņas paziņošanas un dividenžu izmaksas.
Aktuāram, kurš aprēķina rezerves, jāsaskaras ar delikātām un būtiskām problēmām. Viņš ir sarežģītā situācijā, raugoties no sekojošiem apsvērumiem:
1. Rezerves parādās starp saistībām bilancē, un tas atstāj tiešu ietekmi uz peļņu un arīdzan uz kompānijas maksājamajiem nodokļiem. Ir liels kārdinājums pārspīlēt rezerves, lai novilcinātu nodokļu maksājumus. Rezervēt vairāk naudas nekā mazāk - tas ir zināms drošības pasākums, lai pasargātu sevi no iespējamām inflācijas svārstībām nākotnē.
2. Kompānija, kas ir sliktā finansiālā stāvoklī, var censties minimizēt savas rezerves. Vecas prasības apmaksājot ar tekošajiem ieņēmumiem, var vairākus gadus izdzīvot bez finansiālās krīzes, sevišķi, ja tas ir attīstības periods. Tādā veidā kompānija var gaidīt labākus laikus vai arī atlikt savu bankrotu uz vairākiem gadiem.
Tehnisko rezervju aprēķinos tiek lietots sekojošs izmaksu trijstūris:

Cij ir kopējās izmaksātā summa j – tā gada beigās par i – tā gada prasībām.

cih ir h – tajā gadā izmaksātā summa par i – tā gada prasībām.
Zīmīgi, ka diagonāles reprezentē kalendāros gadus. Visi uz vienas diagonāles esošie maksājumi ir veikti vienā norēķinu gadā. Informācija zem galvenās diagonāles nav zināma, tā reprezentē nākotnes maksājumus. Ar Ri apzīmēsim prognozējamo neizmaksāto i – tā gada prasību apjomu. kopējās i – tā gada prasību izmaksas.

Rezervju aprēķināšanas metodes
Turpinājumā iepazīsimies ar vairākiem modeļiem, kuri pasaulē tiek lietoti tehnisko rezervju novērtēšanai.
Metožu galvenais mērķis ir sastādīt izmaksu trijstūri, lai novērtētu lielumus Ci i=1,…,k un tātad arī rezerves Ri. Ideālajā variantā rezervju novērtējumam būtu jābūt vienādam ar dotā gada neapmaksāto prasību nosacīto vidējo vērtību, ko var uzdot sekojoši:
.
Visas metodes, kuras ir aplūkotas zemāk, ir balstītas uz vieniem un tiem pašiem principiem:
1. Pagātnes datu analīze
2. Modeļa parametru novērtēšana
3. Rezultātu ekstrapolēšana vai projecēšana nākotnē
Tām visām sākumā ir nepieciešams atrast Ci novērtējumu . Tiek pieņemts, ka ar lielu ticamības pakāpi ir zināms senākā gada rezervju novērtējums (vai arī pieņemam, ka relatīvi lieliem k, C1 ir tuvs C1k).
Pakāpeniskās ķēdes metode
Strādājot pēc šīs metodes tiek pieņemts, ka tādi ārējie faktori kā inflācija, izmaiņas portfeļa sastāvā, norēķinu likmēs vai likumdošanā neiedarbojas. Tiek pieņemts arī, ka trijstūra kolonnas ir proporcionālas, izņemot, varbūt, gadījuma svārstības. Tas nozīmē, ka mēs varam pieņemt:
Cij+1 = mjCij i = 1,…,k; j = 1,…,k-1 un Cj = MkCik i = 1, …, k.
mj ir gadījuma mainīgais, kurš reprezentē prasību maksājumu inflāciju starp j – to un j+1 – mo maksājumu gadu, bet Mk ir inflācija pēc jau pieredzētajiem k gadiem. Ja mēs to pieņemam, tad šie mainīgie nav atkarīgi no sākotnējā gada i.
Viens no mj un Mk novērtēšanas veidiem ir:
j = 1, …, k-1
un
.
Lai novērtētu rezerves Ri mums tikai soli pa solim jāizskaitļo prasību maksājumu inflācijas novērtējumi pēc j gadiem.,
,
tad secināt

un
.
Metodes vājās vietas.
Pakāpeniskās ķēdes metode pēdējā laikā kļuvusi par bargas kritikas upuri.
Pirmkārt, tā ir statistiski nepamatota, jo tiek reizinātas savstarpēji atkarīgas matemātiskas izteiksmes. Matemātiskā cerība no gadījuma mainīgo reizinājuma ir vienāda ar matemātisko cerību reizinājumu tikai tad, ja mainīgie ir neatkarīgi. mj reizinājums acīm redzami nav neatkarīgs. Lai par to pārliecinātos, varam pamainīt tikai vienu trijstūra elementu; ja gadījumā mēs nedaudz palielināsim C32, ievērosim, ka pieaugs, kamēr samazināsies, kas rāda, ka starp m1 un m2 pastāv negatīva korelācija.
Otrkārt, metode ir ļoti jūtīga pret aplūkoto vērtību svārstībām. C1k, starp citu, spēlē būtisku lomu kopš tas ir vienīgais novērojamais lielums skaitļošanā. C1k izmaiņas izsauc arī izmaiņas rezervēs. No otras puses Ck1 izmaiņas nemaina rezerves sākotnējiem k-1 gadiem, bet fundamentāli ietekmē k – tā gada rezerves.
Treškārt, metode ignorē jebkādas ārējo faktoru izsauktas trijstūra elementu vērtību izmaiņas. Lai mazinātu šo kritiku, var ierosināt apskatīt divus metodes variantus.

Pirmais variants: ņemt vērā inflāciju.
Mēs ņemam vērā inflāciju, strādājot ar “konstantām cenām”. Pamazinām visu, maksājumus par vidējo cenu indeksa pieaugumu. Pēc metodes pielietošanas lielumi tiek transformēti atpakaļ tekošajās vērtībās. Inflācijas līmeņa ekstrapolācija nākotnē ļauj mums noteikt rezerves.
Otrais variants: modificētā pakāpeniskās ķēdes metode.
Salīdzinot ar pamatmetodi, iegūstam būtisku uzlabojumu, ņemot vērā inflāciju. Tagad citi faktori (kompānijas norēķinu politikas maiņa, likumdošanas maiņa un citi) var ātri izmainīt norēķinu tempu. Mēs varam ņemt vērā atšķirības, kuras var pastāvēt starp dažādu gadu maksājumu likmēm, strādājot nevis ar Cij, bet gan ar
, kur
nij = kopējais sākotnējā gada i prasību skaits, kuras pieteiktas j – tajā maksājumu gadā,
nj = kopējais prasību skaits par notikuma gadu i.
Kopējais prasību lielums tādā veidā ir reizināts ar pieteikto prasību proporciju.
Praksē ni ir droši zināms tikai pēc visu I.B.N.R. prasību paziņošanas un nepamatoto prasību dzēšanas. Šķiet dabiski par ni izvēlēties pieteikto prasību skaitu plus prognozējamo par pēdējo pieejamo gadu nepieteikto prasību skaitu, minimizējot kļūdīšanās robežu. Tomēr, ja par senākajiem apdrošināšanas gadiem vidējā kļūda ir maza, tas ir vēl svarīgāk pēdējiem gadiem.
Reizinātāju metodes
Aplūkosim j – tā maksājumu gada nekumulatīvo maksājumu summu cij par sākotnējā gada i prasībām un formulēsim sekojošas hipotēzes:
1. cij ir neatkarīgi gadījuma lielumi.
2. cij var pierakstīt formā cij = xipji+j-1.
Tātad mēs pieņēmām, ka šī summa ir trīs lielumu reizinājums, kas respektīvi ir atkarīgs no sākotnējā gada, maksājuma gada un kalendārā gada.
xi - kopējā prasību summa, kas attiecas uz sākotnējo gadu i, izteikta konkrētā naudas izteiksmē.
pj - ir j – tajā maksājumu gadā samaksātā xi proporcija. Pieņemsim, ka maksājumu sadalījums pirmajos k gados {pj: j = 1,…,k} ir stabils laikā, t.i., nav atkarīgs no sākotnējā gada.
i+j-1 - ir inflācijas un ārējo faktoru līmenis. Tas rāda prasību izmaksu indeksu i+j-1 grāmatvedības gadā.
Modelis bez inflācijas.
Sākumā aplūkosim modeli cij = xipj.
Var tikt aplūkotas dažādas parametru novērtēšanas metodes. Mazāko kvadrātu metode minimizē izteiksmi , kur ij patvaļīgi svari. Tie var būt vienādi ar 1 vai arī mainīties saskaņā ar datu nozīmīgumu, vecumu, uzticamību u.t.t. Summa ir pa visiem trijstūra elementiem; Viena no metodes priekšrocībām ir tāda, ka nav nepieciešams zināt pilnīgu datu trijstūri. Ja gadījumā kādu gadu kompānijas norēķinu politika pēkšņi tiek grozīta, ir iespējams neņemt vērā agrāko informāciju un analizēt