Darbs:

pirmajai rindiņai atrasto modeli pielietot visām pārējām rindiņām.
Aplūkosim parasto regresijas vienādojumu
,
kur b ir regresijas koeficients, ir y vidējā vērtība, ir x vidējā vērtība.
Pieņemsim, ka mūsu rīcībā ir novērojumi:
X = (x1, x2, …, xn)
Y = (y1, y2, …, yn),
tad
, (1)
kur


.
Aplūkosim statistiku regresijas koeficientam:
, (2)
kur  = E(b).
t  tn-2 (Stjūdenta sadalījums ar n-2 brīvības pakāpēm).
Atgriezīsimies pie AR(1) modeļa un izmaksu trijstūra. Autoregresīvais vienādojums
hn = ahn-1 + n
pēc būtības ir regresijas vienādojums. a ir regresijas koeficients pašam ar sevi.
Ņemsim
X = (c11, c12, … ,c1k)
Y =( c12, c13, … ,c1k, c1k+1).
Līdz ar to

,
kur
.
Tātad, izmantojot mūsu rīcībā esošo trijstūri un formulu (1), mēs varam aprēķināt katrai(patiesībā tikai tām, kurās ir pietiekami daudz zināmo elementu) trijstūra rindiņai regresijas koeficientu bi, i = 1, …, k.
Tālāk, izmantojot statistiku t, varam atrast koeficientam b1 ticamības intervālu
p(b(1) < b1 < b(2)) = 0.95
Ja pārējās bi vērtības pieder šim intervālam, tad varam pirmajai rindiņai piemeklēto autoregresīvo modeli pielietot pārējām rindiņām.
Tā kā regresijas koeficientus mēs varējām atrast tikai pirmajām n rindiņām (n izvēlamies pēc pašu ieskatiem) un, ja šie regresijas koeficienti pieder b1 ticamības intervālam, tad vienkārši pieņemam, ka tas ir spēkā arī pārējiem k-n regresijas koeficientiem.
Piemērs.
Dots izmaksu trijstūris
Vispirms aprēķināsim rezerves ar AR(1) un ARMA(1,1) modeļiem.
Atradīsim interesējošos lielumus pirmajai rindiņai
45549288 34111668 b1 = 0.748896
Atradīsim regresijas koeficientam b(1) ticamības intervālu. Izmantosim statistiku t.

No Stjūdenta sadalījuma ar 5 brīvības pakāpēm tabulām nolasām t1.
t1 = 2.6
Pierakstu ērtības labad no (2) aprēķināsim sekojošu koeficientu

-2.6 < 3.7(0.75 - ) < 2.6
-0.77 < 0.75 - <0.77
-1.52 < - < 0.02
-0.02 <  < 1.52
Esam atraduši ticamības intervālu koeficientam b1 (-0.02; 1.52). Aprēķināsim pārējos koeficientus bi
50732016 5452937 b2= 0.698828
30370442 20159965 b3= 0.663802
9890426 5538960 b4= 0.560033
1042201 -1076376 b5= -1.03279
Redzam, ka b2, b3, b4  (-0.02; 1.52), bet b5  (-0.02; 1.52). Paskatoties izmaksu trijstūrī, redzams, ka 5. rindiņa satur tikai trīs zināmus elementus. Līdz ar to varam uzskatīt, ka katras rindiņas regresijas koeficients pieder pirmās rindiņas regresijas koeficienta ticamības intervālam un varam visām rindiņām lietot vienu un to pašu autoregresīvo modeli.
AR(1) un ARMA(1,1) modeļu piemeklēšanai izmantosim datorprogrammu paketi WINRATS.
Ar paketes palīdzību atrodam, ka mūsu datiem piemērots ir pirmās kārtas autoregresīvais modelis ar koeficientu 0.7553856714
ht=0.7553856714ht-1 +t
CALENDAR 1982 1 1
ALLOCATE 1988 1
open data c:\my documents\mans\diploms\piemers.rat
data(format=rats,org=obs) 1982:1 1988:1 izmaksas
boxjenk(define=eq,iterations=20,ar=1) izmaksas / resids
Dependent Variable IZMAKSAS - Estimation by Box-Jenkins
Iterations Taken 2
Annual Data From 1983:01 To 1988:01
Usable Observations 6 Degrees of Freedom 5
Centered R**2 0.974082 R Bar **2 0.974082
Uncentered R**2 0.993674 T x R**2 5.962
Mean of Dependent Variable 9270.1666667
Std Error of Dependent Variable 5770.1905139
Standard Error of Estimate 928.9477090
Sum of Squared Residuals 4314719.2305
Durbin-Watson Statistic 1.240508
Q(1-1) 0.115869
Significance Level of Q 0.00000000
Variable Coeff Std Error T-Stat Signif
****************************************************************
1. AR{1} 0.7553856714 0.0269535944 28.02542 0.00000108
Izmantojot tikko atrasto modeli, veiksim izmaksu prognozi un aizpildīsim izmaksu trijstūra tukšās rūtiņas.
Saskaitot visus tumšajā drukā esošos elementus, iegūstam meklētās rezerves
= 162017
Līdzīgā veidā atradīsim ARMA(1,1) modeli un aizpildīsim izmaksu trijstūri.
boxjenk(define=eq,iterations=20,ar=1,ma=1) izmaksas / resids
Dependent Variable IZMAKSAS - Estimation by Box-Jenkins
Iterations Taken 6
Annual Data From 1983:01 To 1988:01
Usable Observations 6 Degrees of Freedom 4
Centered R**2 0.975122 R Bar **2 0.968903
Uncentered R**2 0.993928 T x R**2 5.964
Mean of Dependent Variable 9270.1666667
Std Error of Dependent Variable 5770.1905139
Standard Error of Estimate 1017.5431549
Sum of Squared Residuals 4141576.2886
Durbin-Watson Statistic 1.650859
Q(1-2) 0.052509
Significance Level of Q 0.00000000
Variable Coeff Std Error T-Stat Signif
****************************************************************
1. AR{1} 0.7548514569 0.0343515059 21.97433 0.00002538
2. MA{1} 0.2329260187 0.5474183569 0.42550 0.69236701
Modelis, ko piemeklējām ar paketes WinRATS palīdzību, ir sekojošs
ht = 0.7548514569*ht-1 t+ 0.2329260187*t-1
un, veicot prognozēšanu, iegūstam sekojošu tabulu

= 173376
Pakāpeniskās ķēdes metode
Šeit izmantosim kumulatīvās izmaksas Cij
















Reizinātāju metode.
Izvēlamies sākotnējās pj vērtības
.















Šī iterāciju virkne konverģē pietiekami ātri. Jau piektās iterācijas rezultāti sakrīt ar ceturtās iterācijas rezultātiem.








Atzīmēsim, ka

Aizpildīsim izmaksu trijstūri ar vērtībām cij = xipj

Beigu beigās aprēķināsim rezerves
78224+4148 =82374
81287+2482.5+4528.3 =88297.7
66402+3518.2+2138.8+3901.4 =75960.4
62347+6035.5+3547.3+2156.5+3933.7 =78020.1
62833+12635.6+7263.9+4269.3+2595.5… =94331.7
33568+12334.4+9370.1+5386.7+3166.0… =69260.7
11346+10795.6+8138.2+6182.4+3554.1… =45691.6

Atdalīšanas metode.
Šī metode izmanto sij = cij/ni trijstūri, kur ni ir par i – to gadu pieteikto prasību skaits.
n1 = 41774 n2 = 40072 n3 = 33209 n4 = 30169
n5 = 32281 n6 = 21801 n7 = 15609
Izmantosim sekojošu sij tabulu

d1 = s11 = 0.5411
d2 = s12 + s21 = 0.9683
d3 = s13 + s22 + s31 = 1.4950
d4 = s14 + s23 + s32 + s41 = 1.8146
d5 = s15 + s24 + s33 + s42 + s51 = 2.0998
d6 = s16 + s25 + s34 + s43 + s52 + s61 = 2.4460
d7 = s17 + s26 + s35 + s44 + s53 + s62 + s71 = 2.8154
7 = s17 = 0.0544
6 = s16 + s26 = 0.1925
5 = s15 + s25 + s35 = 0.5068
4 = s14 + s24 + s34 + s44 = 1.2322
3 = s13 + s23 + s33 + s43 + s53 = 2.1255
2 = s12 + s22 + s32 + s42 + s52 + s61 = 3.5871
1 = s11 + s21 + s31 + s41 + s51 + s61 + s71 = 4.4818














Aplūkojot vērtības, redzam, ka tā pieaug, pieaugot i vērtībām. Šis pieaugums šķiet lineārs. Atrodam regresijas vienādojumu:
 = 0.1698i + 1.4834.
No šī vienādojuma atrodam novērtējumus


Tos izmantosim, lai izskaitļotu

Aprēķināsim sekojošus lielumus






















Apkoposim ar visām metodēm iegūtos rezultātus

PĶM 4148 6873 9426 15871 32135 35660 34231 138345
RM 4148 7011 9558 15673 31499 35693 34346 137927
AM 5280 7357 8983 14560 29049 32175 31044 128448
AR(1) 4148 4258 10516 24900 46420 41655 30120 162017
ARMA(1,1) 4148 4043 9979 26273 48200 41400 39332 173376

NOBEIGUMS
Esam piecos dažādos veidos novērtējuši rezerves, strādājot ar vieniem un tiem pašiem izejas datiem. Visus iegūtos rezultātus varam uzskatīt par pietiekoši tuviem, tomēr redzams, ka savstarpēji tuvāki rezultāti ir metodēm, kuras arī strādā līdzīgi, t.i., AR(1) un ARMA(1,1) modeļiem un attiecīgi pārējiem trīs modeļiem.
Nevienu no šīm metodēm nevar nosaukt par vislabāko visos gadījumos. Aktuāram katrā situācijā ir rūpīgi jāizvērtē viņa rīcībā esošā informācija un tikai tad jālemj, kuru metodi izvēlēties. Kā sākumā jau minējām, tad var būt dažādi apsvērumi, pēc kuriem vadoties izvēlēties pieeju. Mūsu aplūkotajā piemērā AR(1) modelis varētu būt piemērots piesardzīgākai kompānijai.
Latvijā apdrošināšanas kompānijas ir ļoti jaunas. Tām trūkst gan pieredzes gan speciālistu, lai savu darbību balstītu uz korektiem matemātiskiem aprēķiniem. Lielākoties notiek ārzemju prakses tieša pārņemšana, īpaši neiedziļinoties vietējās situācijas analīzē. (Ārvalstu kompāniju meitas uzņēmumos situācija ir atšķirīga.) Bieži vien ārzemēs lietotos modeļus nevar pārņemt tikai tāpēc, ka savā neilgajā darbības laikā vietējie apdrošinātāji nav paguvuši savākt pietiekami plašu un smalku nepieciešamo informāciju (vai arī vispār nav aizdomājušies, ka tādi dati būtu jāsavāc). Protams, virkne modeļu vienkārši nedarbojas Latvijas apstākļos.
Skaidrs ir viens - darba šajā interesantajā jomā vēl ir gaužām daudz, tāpēc atliek tikai mācīties, analizēt un darīt.
IZMANTOTĀ LITERATŪRA

1. Abakuks Andris, Neimanis Viesturs Laikrindu analīze. – Latvijas Universitāte, Rīga 1992.
2. Ibhztd F.Y. Jcyjds cnj[fcnbxtcrjq abyfycjdjq vfntvfnbrb -“AFPBC” Vjcrdf 1998, ukfdf 2.
3. Lemaire Jean Automobile insurance – Kluwer – Nijhaft Publishing, Boston 1996, 21. nodaļa.
4. Foundations of casualty Actuarial Science – R&S Financial Printing, 1990, 4. nodaļ